Variationsprobleme
(Hauptseminar im WS 2009/2010)

Veranstalter, Ort und Zeit:

• Prof. Dr. Martin Brokate
• Dr. Carl-Friedrich Kreiner
• Donnerstag, 14-16 Uhr, Raum 00.09.022. Der erste Termin ist der 29.10.2009 (zweite Semesterwoche).

Inhalt

Zahlreiche physikalische Gleichgewichtszustände und Bewegungsvorgänge lassen sich durch Minima oder stationäre Punkte von Funktionalen beschreiben, die auf Funktionenräumen (also unendlichdimensionalen Vektorräumen) definiert sind. Die minimierenden Funktionen erfüllen häufig zugleich gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen. Die Variationsrechnung beschäftigt sich mit Methoden, mit denen Aussagen zu Existenz und Eigenschaften von Extrema oder stationären Punkten von Funktionalen bewiesen werden.

In diesem Hauptseminar wollen wir vom Standpunkt der Analysis aus ausgewählte Methoden vorstellen und auf geeignete Anwendungen eingehen.

Teilnehmerkreis, Vorkenntnisse, Literatur

Teilnehmerkreis: Das Hauptseminar richtet sich an Studierende der Mathematik ab dem 5. Semester. Etwa die Hälfte der Plätze sind für Studierende im 5. Semester des Bachelorstudiengangs Mathematik reserviert, die eine Bachelorarbeit anschließen möchten.

Vorkenntnisse: Analysis und Lineare Algebra 1-2, Integrationstheorie, Vektoranalysis.
Konvexe Analysis ist für einzelne Vorträge hilfreich, wird aber nicht zwingend vorausgesetzt.
Es wird dringend empfohlen, parallel zum Seminar eine (oder auch beide) der Vorlesungen Funktionalanalysis oder Partielle Differentialgleichungen zu belegen.

Literatur (u.a.)

• I. Ekeland, R. Temam. Convex analysis and variational problems. North-Holland Publishing, 1976.
• M. Giaquinta, S. Hildebrandt. Calculus of variations I. Springer, 1996.
• D. Smets, M. Willem. Solitary waves with prescribed speed on infinite lattices. J. Functional Analysis 149 (1997), pp. 266–275.
• M. Struwe. Variational Methods. Springer, 1990.
• J.L. Troutman: Variational calculus and optimal control. Springer, 1996.
• M. Willem. Minimax theorems. Birkhäuser, 1996.
• E. Zeidler. Nonlinear functional analysis and its applications. III. Variational methods and applications. Springer, 1985.

Nach der Wahl des Themas wird die benötigte Literatur zur Verfügung gestellt. Es kann vorkommen, dass weitere Literatur selbständig oder nach Anleitung hinzugezogen werden muss. Das Hauptseminar (Modul MA6011) ist mit 3 CP bewertet; für die Vortragsvorbereitung sollen also durchschnittlich etwa 60 Arbeitsstunden vorgesehen werden.

Anmeldung und Kontakt

Anmeldung und Themenvergabe sind abgeschlossen.

Für Fragen steht Carl-Friedrich Kreiner zur Verfügung.

Organisatorisches

Wie in Seminaren üblich, wird von den Teilnehmern wird - neben regelmäßiger Teilnahme - erwartet, einen Vortrag über das gegebene Thema zu halten, und zwar einen Tafelvortrag, der (einschließlich der Beantwortung von Fragen während und nach dem Vortrag) insgesamt 90 Minuten dauern soll. Daneben soll jeder Teilnehmer in LaTeX? eine Zusammenfassung des Vortrags mit den wichtigsten Definitionen und Ergebnissen schreiben (je nach Bedarf 1-4 Seiten).

Um zu erreichen, dass die Vorträge nicht erst in letzter Minute verfasst werden (was erfahrungsgemäß sehr selten zu wirklich guten Vorträgen führt), soll jeder Teilnehmer mindestens zweimal zu einer Besprechung kommen: einmal ca. 3-4 Wochen vor dem vorgesehenen Termin, um zu klären, dass das Thema in groben Zügen klargeworden ist und ggf. Schwerpunkte zu setzen, und dann spätestens 1 Woche vor dem vorgesehenen Termin, um den Vortrag im Detail durchzusprechen. Insbesondere sollte der Vortrag bis zum letzteren Termin im wesentlichen fertig sein. Danach besteht Gelegenheit zu einem Probevortrag, bei dem ich zumindest einen Teil der Zeit da sein würde.

Auf Wunsch kann der Vortrag auf Englisch gehalten werden, wenn der Teilnehmer gut genug Englisch sprechen kann, dass das sinnvoll ist. In diesem Fall ist der Probevortrag Pflicht, und bei dieser Gelegenheit wird entschieden, ob die Option sinnvoll ist. Jeder Teilnehmer wird ermutigt, über diese Möglichkeit nachzudenken.