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3D-Bildrekonstruktion in der Transmissionselektronenmikroskopie

Jürgen Frikel, Projektarbeit, Wintersemester 2005/2006

Projektbeschreibung

Bei der Untersuchung von biologischen Proben am Transmissionselektronenmikroskop (TEM) werden die Proben aus verschiedenen Richtungen durchleuchtet. Aus der dadurch entstehenden Serie von Projektionsbildern ist es dann unter gewissen Voraussetzungen möglich, die 3D-Sturktur des untersuchten Objekts zu rekonstruieren. Die Rekonstruktion erfolgt dabei schichtweise. D.h. es wird zunächst eine Reihe von 2D-Rekonstruktionen vorgenommen, die dann zu einem dreidimensionalen Volumen aufgestapelt werden. Aus diesem Grund wird in diesem Zusammenhang auch von der Elektronentomographie gesprochen.

Die mathematische Modellierung erfolgt dabei mittels der Radon-Transformation. Diese ist definiert durch:

Die Funktion f beschreibt dabei die Dichte des Medium in der zu rekonstruierenden Schicht. Die Radon-Transformierte von f ist also durch alle Projektionen der Dichtefunktion gegeben (einen solchen Datensatz bezeichnet man auch als Sinogramm). Die Rekonstruktion einer durch die Projektionsdaten gegebenen Schicht entspricht also der Bestimmung der entsprechenden Dichtefunktion aus den Werten ihrer Radon-Transformierten, also der Inversion der Radon-Transformation.

Der im Bereich der Tomographie berühmteste Inversionsalgorithmus ist die sogenannte gefilterte Rückprojektion (engl.: filtered backprojection, FBP). Sie basiert auf der Diskretisierung der Inversionsformel

Der Algorithmus besteht im Wesentlichen aus zwei Schritten: Filterung (Faltung) und Rückprojektion (Integration). Die Rekonstruktionsqualität bei vollem Winkelbereich, d.h. bei einer Winkelverteilung im Intervall [-90°,90°], hängt dabei von der Anzahl der Messwerte pro Winkel, der Anzahl der Projektionsrichtungen sowie von dem verwendeten Filter ab. In diesem Fall liefert die gefilterte Rückprojektion sehr gute Rekonstruktionsergebnisse. Rekonstruiert man aus einem eingeschränktem Winkelbereich, so treten zusätzliche Fehler auf, die nicht so einfach zu behandeln sind. In diesem Fall können nicht alle Details zuverlässig wiederhergestellt werden. Die Ergebnisse einer FBP-Rekostruktion bei vollem sowie bei eingeschränktem Winkelbereich sind in den mittleren Bildern der Abbildungen 1 und 2 veranschaulicht.

Ein weiterer, im Rahmen dieser Projektarbeit, untersuchte Rekonstruktionsalgorithmus ist die von Kristian Sandberg, David N. Mastronarde und Gregory Beylkin vorgestellte schnelle Rückprojektion (A fast reconstruction algorithm for electron microscope tomography, J. Struct. Biol 144: 61–72, 2003). Die Grundlage für diesen Algorithmus bildet eine andere, äquivalente Darstellung der Inversionsformel der gefilterten Rückprojektion. Die Berechnung der Rekonstruktion wird hier auf die Auswertung von Summen zurückgeführ, die allesamt schnell mittels der FFT und der NFFT (Nonequispaced Fast Fourier Transform) ausgewertet werden können, wodurch Rechenaufwand im Vergleich zur FBP reduziert wird. Für eine Rekonstruktion eines M x N-Bildes bei K Projektionswinkeln benötigt dieser Algorithmus O(KMlogM)+O(MNlogN) Rechenoperationen im Vergleich zu O(MNK) Rechenoperationen bei der gefilterten Rückprojektion. Die Rekonstruktionsqualität ist dabei mit der des FBP-Algorithmus vergleichbar. In dem jeweils rechten Bild der Abbildungen 1 und 2 sind die Rekonstruktionsergebnisse der schnellen Rückprojektion bei eingeschränktem Winkelbereich dargestellt. Hierbei sind fast keine Unterschiede zu jeweils benachbarten Bildern erkennbar.

Abb. 1: Rekonstruktion am Shepp-Logan-Headphantom. Links: Originalbild; Mitte-Links: Rekonstruktion bei vollem Winkelbereich mittels gefilterter Rückprojektion; Mitte-Rechts: Rekonstruktion bei eingeschränktem Winkelbereich (± 70°) mittels gefilterter Rückprojektion; Rechts: Rekonstruktion bei eingeschränktem Winkelbereich (± 70°) mittels schneller Rückprojektion.

Abb. 2: Rekonstruktion am Lena-Bild. Links: Originalbild; Mitte-Links: Rekonstruktion bei vollem Winkelbereich mittels gefilterter Rückprojektion; Mitte-Rechts: Rekonstruktion bei eingeschränktem Winkelbereich (± 70°) mittels gefilterter Rückprojektion; Rechts: Rekonstruktion bei eingeschränktem Winkelbereich (± 70°) mittels schneller Rückprojektion.

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