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\begin{document}
\parindent 0mm
\pagestyle{empty}
Technische Universit\"at M\"unchen \hfill 22.10.2004\\
Fakult\"at f\"ur Mathematik\\
Prof. Dr. K. Buchner\\
Dr. A. Ruffing\\[0.1cm]
\begin{center}
{\large\bf 1. Aufgabenblatt zur Analysis 3 f\"ur Physiker}\\[0.8cm]
\end{center}

{\bf \underline{Hausaufgaben}}\\[0.2cm]

{\bf Aufgabe H1\qquad}{\em L\"osungen der Wellengleichung}\\[0.2cm] 
Es seien $f$ und $g$ zweimal stetig differenzierbare Funktionen von 
${\Bbb{R}}$ nach ${\Bbb{R}}$. Die Funktion $u: {\Bbb{R}}^{2} 
\rightarrow {\Bbb{R}}$ werde gegeben durch
\begin{center}
$(x,t) \mapsto u(x,t) := f(x+t) + g(x-t)$
\end{center}
Zeigen Sie, dass die Funktion $u$ die aus der Physik bekannte Wellengleichung 
erf\"ullt:
\begin{center}
$\forall \;(x,t) \in {\Bbb{R}}^{2}:\; 
(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}})(x,t) - 
(\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}})(x,t) = 0$\\[0.6cm]
\end{center}

{\bf Aufgabe H2\qquad}{\em Die Maxwellschen Gleichungen im Vakuum}\\[0.2cm]
Es seien $F: {\Bbb{R}}^{4} \rightarrow {\Bbb{R}}^{3}$ und $G: {\Bbb{R}}^{4} \rightarrow {\Bbb{R}}^{3}$ zweimal stetig partiell differenzierbar nach allen Ableitungen und es gelten f\"ur alle $(x,y,z,t) \in {\Bbb{R}}^{4}$ die folgenden Beziehungen:
\begin{center}
$($rot$(F))(x,y,z,t) = (\frac{\partial G}{\partial t})(x,y,z,t) \qquad\quad ($div$(F))(x,y,z,t) = 0$
\end{center}
\begin{center}
$($rot$(G))(x,y,z,t) = (-\frac{\partial F}{\partial t})(x,y,z,t) \qquad\quad ($div$(G))(x,y,z,t) = 0$
\end{center}
Zeigen Sie, dass nichttriviale zweimal stetig partiell nach allen Variablen differenzierbare L\"osungen $F: {\Bbb{R}}^{4} \rightarrow {\Bbb{R}}^{3}$ und $G: {\Bbb{R}}^{4} \rightarrow {\Bbb{R}}^{3}$ zu diesen Beziehungen jeweils die Wellengleichung erf\"ullen.\\[0.2cm]

{\bf Aufgabe H3\qquad }{\em Die Black-Scholes-Differentialgleichung}\\[0.2cm]
Ein wichtiger Typ von komplexen Diffusionsprozessen wird durch die sogenannte Black-Scholes-Gleichung beschrieben, die z.B. bei der mathematischen Modellierung von Finanzm\"arkten eine gro{\ss}e Rolle spielt. Die Analysis hinter dieser Gleichung stellt zudem eine wichtige Br\"ucke zwischen der Theorie partieller Differentialglei-chungen und dem physikalischen Verst\"andnis von Diffusionsprozessen dar. Die Black-Scholes-Gleichung wird f\"ur festes $\gamma \in {\Bbb{R}}$ gegeben durch 
\begin{center}
$\frac{\partial v}{\partial t}(x,t) = \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}(x,t) + (\gamma - 1) \; \frac{\partial v}{\partial x}(x,t) - \gamma \;v(x,t)\;\;\; (x,t) \in {\Bbb{R}}^{2}$
\end{center}
Zeigen Sie: Falls $\;u: {\Bbb{R}}^{2} \rightarrow {\Bbb{R}},\; (x,t) \mapsto u(x,t)$ eine L\"osung der klassischen Diffusions-gleichung $\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ ist, dann existiert eine Funktion $f:{\Bbb{R}}^{2} \rightarrow {\Bbb{R}}$, so dass 
\begin{center}
$v: {\Bbb{R}}^{2} \rightarrow {\Bbb{R}}, \; (x,t) \mapsto v(x,t) := e^{f(x,t)}\; u(x,t)$ 
\end{center}
die Black-Scholes-Gleichung l\"ost. Versuchen Sie hierbei f\"ur $f$ einen linearen Ansatz in den beiden Variablen.\\[0.2cm]

\newpage

{\bf \underline{Tutoraufgaben}}\\[0.1cm]

{\bf Aufgabe T1\qquad}{\em Wiederholung zu Differentialoperatoren}\\[0.2cm] 
In dieser Aufgabe bezeichnen $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ die Einheitsvektoren in ${\Bbb{R}}^{3}$, die in $x$-Richtung, $y$-Richtung bzw. $z$-Richtung zeigen. Es sei $F: {\Bbb{R}}^{3} \rightarrow {\Bbb{R}}^{3}$ gegeben durch $(x,y,z) \mapsto F(x,y,z) := (2x + y)\; e_{1} + (x-y^{2})\; e_{2}$. \\[0.2cm]
1. Berechnen Sie $\;$rot$(F)\;$ und finden Sie eine Funktion $\varphi: {\Bbb{R}}^{3} \rightarrow {\Bbb{R}}$, so dass die Beziehung $\;F = $ grad$(\varphi)\;$ erf\"ullt ist.\\[0.3cm]
2. Wie muss die stetig partiell nach allen drei Variablen differenzierbare Funktion $f: {\Bbb{R}}^{3} \rightarrow {\Bbb{R}}$ beschaffen ein, so dass f\"ur 
\begin{center}
$F: {\Bbb{R}}^{3} \rightarrow {\Bbb{R}}^{3}, \; (x,y,z) \mapsto F(x,y,z) := (x-y)\;e_{1} + (y^{2} - x^{2}) \;e_{2} + f(x,y,z)\; e_{3}$
\end{center}
die Beziehung div$(F) = 0\;$ gilt? Zeigen Sie, dass f\"ur
\begin{center}
$G: {\Bbb{R}}^{3} \rightarrow {\Bbb{R}}^{3}, \; (x,y,z) \mapsto G(x,y,z) := (zy^{2} - zx^{2})\;e_{1} + (yz - zx)\; e_{2} + e^{z}\; e_{3}$
\end{center}
die Beziehung rot$(G) = F$ gilt, sofern $f: {\Bbb{R}}^{3} \rightarrow {\Bbb{R}}, \; (x,y,z) \mapsto f(x,y,z) := -z - 2yz$.\\[0.2cm]


{\bf Aufgabe T2\qquad}{\em Herleitung der Kontinuit\"atsgleichung}\\[0.2cm] 
In dieser Aufgabe bezeichnen $\;$ div $\;$ und $\;$ rot $\;$ Divergenz und Rotation. Die vektorwertigen Funktionen $E, B, J: {\Bbb{R}}^{4} \rightarrow {\Bbb{R}}^{3}$ sowie die skalarwertige Funktion $\rho: {\Bbb{R}}^{4} \rightarrow {\Bbb{R}}$ seien zweimal stetig partiell differenzierbar nach allen Ableitungen und es seien f\"ur alle $(x,y,z,t) \in {\Bbb{R}}^{4}$ die folgenden Beziehungen g\"ultig:
\begin{center}
$($rot$(E))(x,y,z,t) = (-\frac{\partial B}{\partial t})(x,y,z,t) \qquad\quad ($div$(E))(x,y,z,t) = \rho(x,y,z,t)$
\end{center}
\begin{center}
$($rot$(B))(x,y,z,t) = (\frac{\partial E}{\partial t})(x,y,z,t) + J(x,y,z,t)\qquad\quad ($div$(B))(x,y,z,t) = 0$
\end{center}
Es handelt sich hierbei um die sogenannten Maxwellschen Differentialgleichungen. Leiten Sie aus diesen Beziehungen die Kontinuit\"atsgleichung ab:
\begin{center}
$\forall \;(x,y,z,t) \in {\Bbb{R}}^{4}: \quad ($div$(J))(x,y,z,t) + \frac{\partial\rho}{\partial t}\; (x,y,z,t) = 0 $\\[0.6cm]
\end{center}

{\bf Aufgabe T3 \qquad}{\em \"Ahnlichkeitsl\"osungen der Diffusionsgleichung}\\[0.3cm]
Betrachten Sie die Funktion
\begin{center}
$u: {\Bbb{R}} \times {\Bbb{R}}^{+} \rightarrow {\Bbb{R}}, \quad (x,t) \mapsto u(x,t) := \frac{1}{\sqrt{t}} \;e^{-\frac{1}{4} \frac{x^{2}}{t}}$
\end{center}
Zeigen Sie, dass $u$ die Diffusionsgleichung vom Typ $\;\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\;$ l\"ost. Untersuchen Sie weiterhin, ob f\"ur festes $\lambda > 0$ die skalierte Funktion 
\begin{center}
$v:  {\Bbb{R}} \times {\Bbb{R}}^{+} \rightarrow {\Bbb{R}}, \;\; (x,t) \mapsto v(x,t) := u(\lambda x,\lambda^{2}t)$ 
\end{center}
ebenfalls L\"osung dieser Diffusionsgleichung ist.\\[1cm]

{\bf Abgabe der Hausaufgaben am 05.11.2004 vor Beginn der Zentral\"ubung}
\\[0.2cm]


\end{document}