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\begin{document}
\parindent 0mm
\pagestyle{empty}
Technische Universit\"at M\"unchen \hfill 14.01.2005\\
Fakult\"at f\"ur Mathematik\\
Prof. Dr. K. Buchner\\ 
Dr. A. Ruffing \\[0.2cm]
\begin{center}
{\large\bf 10. Aufgabenblatt zur Analysis 3 f\"ur Physiker}\\[1cm]
\end{center}
{\bf \underline{Hausaufgaben}}\\[0.4cm]


{\bf Aufgabe H38\qquad}\\[0.2cm]
Wo liegen die Nullstellen der komplexen Sinusfunktion? Bestimmen Sie fernerhin die Menge $M$ aller Singularit\"aten der Funktion
\begin{center}
$f: {\Bbb{C}} \setminus M \rightarrow {\Bbb{C}}, \; z \mapsto f(z) := \frac{2\pi i e^{i\pi z}}{e^{2i\pi z} - 1}$\\[1cm]
\end{center}

{\bf Aufgabe H39}\\[0.2cm]
Berechnen Sie f\"ur vorgegebenes $\;a\in{\Bbb{R}}\setminus\{0\}\;$ das folgende Fourier-Integral:
\begin{equation}
J(k) := \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-ikx}}{x^{2} + a^{2}}\;dx \qquad\quad k \in {\Bbb{R}}\\[0.6cm]
\end{equation}

{\bf Aufgabe H40\qquad}\\[0.2cm]
Berechnen Sie den Koeffizienten $c_{-1}$ der Laurent-Reihe 
\begin{equation}
f_{\alpha}(z) = \sum_{n=-1}^{-\infty} c_{n} (z-z_{0})^{n} + \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} (z-z_{0})^{n}
\end{equation}
um den Punkt $z_{0} = 1$ f\"ur die Funktion, die durch die Vorschrift
\begin{equation}
f_{\alpha}(z) = \frac{e^{(z-1)^{2}}e^{\alpha z^{4}}}{(z-1)^{3}}
\end{equation}
gegeben wird, wobei $\alpha$ ein Parameter in ${\Bbb{R}}$ ist. Es sei weiterhin $K$ der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt 1 in der komplexen Ebene. Die Funktion $G: {\Bbb{R}} \rightarrow {\Bbb{C}}$ werde gegeben durch $\alpha \mapsto G(\alpha) := \int_{K} f_{\alpha}(z)dz $, wobei der gesamte Kreis $K$ beim Integrieren jeweils in positiver Richtung durchlaufen wird. Ist die Funktion $G: {\Bbb{R}} \rightarrow {\Bbb{C}}$ differenzierbar? Besitzt $G: {\Bbb{R}} \rightarrow {\Bbb{C}}$ Nullstellen?\\[1.5cm]


{\bf Abgabe der Hausaufgaben am 21.01.2005 vor Beginn der Zentral\"ubung}\\[0.4cm]

\newpage



{\bf \underline{Tutoraufgaben}}\\[0.5cm]


{\bf Aufgabe T33}\\[0.2cm]
$C$ sei die Einheitskreisscheibe mit dem Nullpunkt als Zentrum. Berechnen Sie
\begin{equation}
\int_{\partial C} \frac{2 dz}{(1-2i)z^{2} + 6iz - 1 - 2i}\\[1cm]
\end{equation}


{\bf Aufgabe T34}\\[0.2cm]
Berechnen Sie das Integral
\begin{equation}
\int_{0}^{2\pi} \frac{dt}{3-2\cos t + \sin t}\\[1cm]
\end{equation}

{\bf Aufgabe T35}\\[0.2cm]
Ermitteln Sie alle Residuen der Funktion 
\begin{equation}
f(z) = \frac{2z - z^{2}}{(iz + e^{i\frac{\pi}{2}})^{2}(z^{2} + 4)}
\end{equation}
zu ihren Polen erster Ordnung in der komplexen Ebene.\\[3cm]


{\large\bf Semestralklausur am 28.01.2005 von 14:30--16:00 in HS 1 MA}\\[1cm]

{\large\bf Bitte Studierendenausweis und Lichtbildausweis mitbringen!}



\end{document}