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\begin{document}
\parindent 0mm
\pagestyle{empty}
Technische Universit\"at M\"unchen \hfill 17.12.2004\\
Fakult\"at f\"ur Mathematik\\
Prof. Dr. K. Buchner\\ 
Dr. A. Ruffing \\[0.2cm]
\begin{center}
{\large\bf  9. Aufgabenblatt zur Analysis 3 f\"ur Physiker}\\[0.8cm]
\end{center}
{\bf \underline{Hausaufgaben}}\\[0.4cm]


{\bf Aufgabe H35 \quad}{\em Transformationsverhalten der Thomas-Gleichung}\\[0.2cm]
Es seien $\alpha, \beta, \gamma \in {\Bbb{R}}$ mit $\gamma \neq 0$. Man transformiere die nachstehende Gleichung 
\begin{center}
$\frac{\partial^{2}u}{\partial x \partial y} + \alpha \;\frac{\partial u}{\partial x} + \beta \;\frac{\partial u}{\partial y} + \gamma \;\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y} = 0$
\end{center} 
durch die Substitution $u = \frac{1}{\gamma}\; \ln v$. Was f\"allt hierbei auf?\\[0.2cm]

{\bf Aufgabe H36 \quad}{\em Aufl\"osungstheorie der Burgers-Gleichung}\\[0.2cm]
Es sei  $v: {\Bbb{R}} \times {\Bbb{R}}^{+} \rightarrow {\Bbb{R}},\; (x,t) \mapsto v(x,t)$ eine nullstellenfreie L\"osung der klassischen Diffusionsgleichung $\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}$ (z.B. ist $v: {\Bbb{R}} \times {\Bbb{R}}^{+} \rightarrow {\Bbb{R}},\; (x,t) \mapsto v(x,t) = x^{2} + t$ eine solche L\"osung). Dann erf\"ullt $u: {\Bbb{R}} \times {\Bbb{R}}^{+} \rightarrow {\Bbb{R}},\; (x,t) \mapsto u(x,t) := \frac{-2}{v(x,t)}\frac{\partial v}{\partial x}(x,t)$ die sogenannte Burgers-Gleichung 
\begin{center}
$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) + u(x,t)\; \frac{\partial u}{\partial x}(x,t) = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}(x,t) \qquad (x,t) \in {\Bbb{R}} \times {\Bbb{R}}^{+}$\\[0.7cm]
\end{center}

{\bf Aufgabe H37 \quad}{\em Ein Potentialproblem}\\[0.2cm]
Gegeben sei $\lambda \in {\Bbb{R}}\setminus\{0\}$. Man betrachte die Beziehungen
\begin{center}
$y''(x) + (\lambda^{2} - v(x))\; y(x) = 0 \qquad y(x) = e^{i\lambda x} \;(2\lambda + iu(x)) \qquad x \in {\Bbb{R}}$
\end{center}
Kann man die erste dieser Gleichungen mit Hilfe der zweiten Gleichung durch die Wahl geeigneter nichttrivialer Funktionen $\;u: {\Bbb{R}} \rightarrow {\Bbb{R}}\;$ und $\;v: {\Bbb{R}} \rightarrow {\Bbb{R}}\;$ aufl\"osen? Geben Sie gegebenenfalls solche Funktionen $u$ und $v$ an.\\[0.1cm]

{\bf Abgabe der Hausaufgaben am 14.01.2005 vor Beginn der Zentral\"ubung}\\[0.8cm]

{\large\bf SEMESTRALKLAUSUR ZUR ANALYSIS 3 AM 28.01.2005}\\[0.1cm]

{\large\bf Raum HS 1 MA \quad 14:30--16:00}\\

{\large\bf Bringen Sie bitte Lichtbildausweis und Studentenausweis mit!}\\






\newpage

{\bf \underline{Tutoraufgaben}}\\[0.2cm]


{\bf Aufgabe T30}{\em\qquad Separationsansatz und Eigenwertproblem}\\[0.3cm]
Gegeben sei die partielle Differentialgleichung 
\begin{equation} \label{8e01}
u_{yy}(x,y) + a^{2} \;u_{xxxx}(x,y) = 0  \qquad 0 \leq x \leq b \qquad y \geq 0 
\end{equation}   
mit den Anfangsbedingungen
\begin{equation} \label{8e03}
u(0,y) = u_{x}(0,y) = 0 \;\;\qquad u(b,y) = u_{xx}(b,y) = 0 \;\;\qquad y \geq 0
\end{equation}
Hierbei bedeuten z. B. $u_{xxxx}$ die vierte partielle Ableitung der Funktion $u$ nach $x$ bzw. $u_{y}$ die erste Ableitung der Funktion $u$ nach $y$, etc. Die Zahl $a \neq 0$ sei hierbei eine reelle Konstante, $b$ sei eine positive Konstante. Beweisen Sie: Die Gleichungen (1)$\;$(2) werden durch den Ansatz 
\begin{center}
$u(x,y) = F(x) \; G(y)$
\end{center}
auf die folgenden gew\"ohnlichen Differentialgleichungen reduziert (wobei $\lambda \neq 0$ ein konstanter Wert ist):
\begin{center}
$G''(y) + a^{2} \lambda \;G(y) = 0  \qquad y \geq 0$
\end{center}
\begin{center}
$F''''(x) - \lambda F(x) = 0 \qquad F(0) = F'(0) = 0 \qquad F(b) = F''(b) = 0 \qquad 0 \leq x \leq b$\\[0.8cm]
\end{center}

{\bf Aufgabe T31}{\em\qquad $x$-abh\"angige L\"osungen f\"ur den Separationsansatz}\\[0.3cm]
Zeigen Sie: F\"ur $\;n \in {\Bbb{N}}\;$ sind alle Funktionen des Typs 
\begin{center}
$u_{n}:[0,b] \times {\Bbb{R}}^{+}_{0} \rightarrow {\Bbb{R}},\;\; (x,y) \mapsto  u_{n}(x,y) = F_{n}(x) \;G_{n}(y)$
\end{center}
L\"osungen der Gleichungen (1) (2), wobei 
\begin{center}
$F_{n}(x) = \cosh \mu_{n} x - \cos \mu_{n} x - \frac{\cosh \mu_{n} b - \cos \mu_{n} b}{\sinh \mu_{n} b - \sin \mu_{n} b} \;(\sinh \mu_{n} x - \sin \mu_{n}x)$\\[0.8cm]
\end{center}

{\bf Aufgabe T32}{\em\qquad $y$-abh\"angige L\"osungen f\"ur den Separationsansatz}\\[0.3cm]
Zeigen Sie, dass in der Situation von {\bf T31} die $y$-abh\"angigen L\"osungen des Separationsan-satzes gegeben werden durch 
\begin{center}
$G_{n}: {\Bbb{R}}^{+}_{0} \rightarrow {\Bbb{R}}, \;\; y \mapsto G_{n}(y) = A\; \cos \;(a\mu_{n}^{2}y) + B\;\sin \;(a\mu_{n}^{2}y) \qquad n \in {\Bbb{N}}$
\end{center}
mit $A, B \in {\Bbb{R}}$. Die Zahlen $\mu_{n}, n \in {\Bbb{N}}$ sind hierbei die positiven L\"osungen der Glei-chung
\begin{center}
$\tan \;(\mu_{n}b) = \tanh \;(\mu_{n}b).$
\end{center}


\end{document}