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\begin{document}
\parindent 0mm
\pagestyle{empty}
Technische Universit\"at M\"unchen \hfill 28.10.2005\\
Fakult\"at f\"ur Mathematik\\
Prof. Dr. G. Schlichting\\
Dr. A. Ruffing\\[0.2cm]
\begin{center}  
{\large\bf 1. Aufgabenblatt zur Funktionalanalysis}\\[0.6cm]
\end{center}

{\bf \underline{Zentral\"ubung}}\\[0.2cm]

{\bf Aufgabe Z1\qquad}\\[0.2cm] 
Es bezeichne $\;B\;$ den Vektorraum der beschr\"ankten reellwertigen Folgen. Entscheiden Sie in Abh\"angigkeit vom Anfangswert $\;y_{1} \in {\Bbb{R}},\;$ ob die durch die Vorschrift
\begin{center}
$y_{n+1} := ny_{n} + 1 \qquad n \in {\Bbb{N}}$
\end{center}
rekursiv definierte Folge $\;(y_{n})_{n \in {\Bbb{N}}}\;$ in $B$ liegt.\\[0.2cm]

{\bf Aufgabe Z2\qquad}\\[0.2cm] 
Es sei $\;V\;$ der endliche reelle lineare Spann aller Funktionen 
\begin{center}
$v_{n}: {\Bbb{R}} \rightarrow {\Bbb{R}}, \;\; x \mapsto v_{n}(x) := x^{n}\;e^{-\frac{1}{2}x^{2}} \qquad n \in {\Bbb{N}}_{0}$
\end{center}
Zeigen Sie, dass durch die Vorschrift 
\begin{center}
$\;(\circ, \circ): V \times V \rightarrow {\Bbb{R}}$
\end{center}
\begin{center}
$\;(f, g) := \int\limits_{{\Bbb{R}}}\;f(x)\;g(x)\;dx \qquad\quad f, g \in V$
\end{center}
eine Bilinearform auf $\;V\;$ gegeben wird. Es bezeichne weiterhin $\;D^{2}f\;$ die zweimalige Ableitung einer Funktion $\;f \in V.\;$ Zeigen Sie, dass folgender Sachverhalt gilt:
\begin{center}
$\forall f, g \in V: \quad (D^{2}f, g) = (f, D^{2}g)\;$
\end{center}

{\bf Aufgabe Z3\qquad}\\[0.2cm] 
Es sei $\;V\;$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $I: V \rightarrow V$ bezeichne die identische Abbildung auf $V$. Kann man zwei lineare Abbildungen $A, B: V \rightarrow V$ finden, so dass
\begin{center}
$AB - BA = I$
\end{center}
auf $V$ gilt, wonach das Produkt der linearen Abbildungen durch deren Hintereinanderausf\"uhrung vereinbart ist?\\[0.2cm]

\newpage

{\bf \underline{Hausaufgaben}}\\[0.4cm]

{\bf Aufgabe H1\qquad}\\[0.3cm] 
Es sei $\;V\;$ ein reeller Vektorraum, $I: V \rightarrow V$ bezeichne die identische Abbildung auf $V$. Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Es kann in keinem Fall lineare Abbildungen $A, B: V \rightarrow V$ geben, so dass die Identit\"at
\begin{center}
$AB - BA = I$
\end{center}
auf $V$ gilt, wonach das Produkt der linearen Abbildungen durch deren Hintereinanderausf\"uhrung vereinbart ist.\\[0.5cm]

{\bf Aufgabe H2\qquad}\\[0.3cm] 
Es sei $\;V := C^{\infty}({\Bbb{R}}) \cap {\cal{L}}^{2}({\Bbb{R}}).\;$ Die Abbildung $\;A: V \rightarrow V\;$ werde gegeben durch die Vorschrift
\begin{center}
$(Av)(x) := v'(x) \qquad x \in {\Bbb{R}}$
\end{center}
Beweisen oder widerlegen Sie:\\[0.3cm]
1. $\quad$ Es gibt eine reelle Zahl $\lambda$ und eine gerade Funktion in $\;v \in V \setminus \{0\},\;$ so dass die Beziehung $\;A^{2}v = \lambda v\;$ gilt.\\[0.3cm]
2. $\quad$ Es gibt keine reelle Zahl $\mu,$ zu der eine ungerade Funktion in $\;v \in V \setminus \{0\}\;$ existiert, so dass $\;A^{2}v = \mu v\;$ gilt.\\[0.5cm]

{\bf Aufgabe H3\qquad}\\[0.3cm] 
Es sei $\;V\;$ der reelle Vektorraum aus Aufgabe {\bf Z2}. Zeigen Sie, dass es zu jedem $\;n \in {\Bbb{N}}_{0}\;$ ein $\;v_{n} \in V\setminus\{0\}\;$ gibt, so dass die folgende Gleichung gilt:
\begin{center}
$- v_{n}''(x) + x^{2}v_{n}(x) = (2n+1)\;v_{n}(x) \qquad x \in {\Bbb{R}}$
\end{center}
Hinweis: Zeigen Sie zuerst, dass f\"ur $n = 0$ die Funktion
\begin{center}
$v_{0}: {\Bbb{R}} \rightarrow {\Bbb{R}}, \;\; x \mapsto v_{0}(x) := e^{-\frac{1}{2}x^{2}}$
\end{center}
die vorgegebene Gleichung erf\"ullt. Testen Sie dann, ob  die Funktion 
\begin{center}
$v_{1}: {\Bbb{R}} \rightarrow {\Bbb{R}}, \;\; x \mapsto v_{1}(x) := - v_{0}'(x) + x v_{0}(x)$
\end{center}
die Gleichung erf\"ullt. Versuchen Sie mit diesem Ergebnis einen geeigneten Induktionsbeweis f\"ur die zu beweisende Aussage zu entwickeln.\\[0.2cm]



{\bf Abgabe der Hausaufgaben am 15.11.2005 vor Beginn der Zentral\"ubung}
\\[0.6cm]
{\bf www-Seite zur Veranstaltung:}\\[0.3cm]
{\large\bf http://www-m6.ma.tum.de/$\sim$ruffing/Funktionalanalysis} 



\end{document}