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\begin{document}
\parindent 0mm
\pagestyle{empty}
Technische Universit\"at M\"unchen \hfill 26.01.2006\\
Fakult\"at f\"ur Mathematik\\
Prof. Dr. G. Schlichting\\
Dr. A. Ruffing\\[0.3cm]
\begin{center}  
{\large\bf 12. Aufgabenblatt zur Funktionalanalysis}\\[1cm]
\end{center}


{\bf Aufgabe H46\qquad}\\[0.2cm] 
Es seien $X$ und $Y$ Banachr\"aume und $H$ ein Hilbertraum.\\[0.2cm]
1. $\;\;$ Wenn $T: X \rightarrow Y$ nuklear ist, so ist auch $T': Y' \rightarrow X'$ nuklear.\\
2. $\;\; \vert\vert T' \vert\vert_{nuk} \leq \vert\vert T \vert\vert_{nuk}$\\
3. $\;\;$ Ist $Y$ reflexiv, so gilt auch die Umkehrung von $1.$ und $\geq$ in 2.\\[0.2cm]

{\bf Aufgabe H47\qquad}\\[0.2cm] 
Es sei $H$ ein Hilbertraum. Dann gilt $\;T \in N(H) \Leftrightarrow T = T_{1}T_{2},\;$ wobei $T_{1}, T_{2}$ geeignete Hilbert-Schmidt-Operatoren sind.\\[0.2cm]

{\bf Aufgabe H48\qquad}\\[0.2cm] 
Es sei $\;k \in C^{1}([0,1]^{2})\;$ und $\;T_{k}\;$ der zugeh\"orige Integraloperator auf $\;L^{2}[0,1],\;$ d.h.
\begin{center}
$(T_{k}x)(s) = \int\limits_{0}^{1} k(s,t)\;x(t)\;dt$
\end{center}
Zeigen Sie, dass $\;T_{k}\;$ nuklear ist.\\[0.2cm]

{\bf Aufgabe H49\qquad}\\[0.2cm] 
Es sei $\;T: l^{2} \rightarrow l^{2}\;$ der Multiplikationsoperator $\;(s_{n}) \mapsto (s_{n}/n)\;$ und sei $\;S: l^{2} \rightarrow l^{2}\;$ der Rechtsshiftoperator $(s_{1}, s_{2}, ...) \mapsto (0, s_{1}, s_{2},...).\;$ Dann ist $\;R := ST\;$ kompakt. Geben Sie $\vert R \vert$ sowie die singul\"aren Zahlen von $R$ an. Wie sieht die Situation f\"ur den Linksshiftoperator $\;(s_{1}, s_{2}, ...) \mapsto (s_{2}, s_{3}, ...)\;$ aus?\\[0.2cm]

{\bf Aufgabe H50\qquad}\\[0.2cm] 
1. $\;\;$ Es sei $\lambda \in l^{1}$ und $D_{\lambda}: l^{\infty} \rightarrow l^{1}\;$ der Diagonaloperator $\;(s_{n}) \mapsto (\lambda_{n}s_{n}).\;$ Zeigen Sie dass $D_{\lambda}$ nuklear ist und bestimmen Sie die nukleare Norm.\\[0.2cm]
2. $\;\;$ Der Operator $T \in L(X,Y)$ ist genau dann nuklear, wenn es Operatoren $A \in L(X,l^{\infty}), B \in L(l^{1},Y)$ und $D_{\lambda} \in L(l^{\infty},l^{1})\;$ mit $\;\lambda \in l^{1}\;$ gibt, so dass das nebenstehende Diagramm kommutiert. In diesem Fall gilt
\begin{center}
$\vert\vert T \vert\vert_{nuk} = \inf \vert\vert A \vert\vert\;\vert\vert B \vert\vert\;\vert\vert \lambda \vert\vert_{l^{1}}$
\end{center} 

\newpage


{\large\bf Abgabe der Hausaufgaben am 31.01.2006}\\[0.6cm] 
{\large\bf vor Beginn der \"Ubung}\\[0.6cm]
{\large\bf www-Seite zur Veranstaltung:}\\[0.6cm]
{\large\bf http://www-m6.ma.tum.de/$\sim$ruffing/Funktionalanalysis}\\[1.3cm]

{\Huge\bf Semestralklausur 14.02.2006}\\[1cm]
{\Huge\bf HS 3 MA 12--14}\\[1cm]
{\LARGE\bf Klausur ohne Hilfsmittel!}\\[0.8cm]

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\end{document}