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\begin{document}
\parindent 0mm
\pagestyle{empty}
Technische Universit\"at M\"unchen \hfill 22.12.2005\\
Fakult\"at f\"ur Mathematik\\
Prof. Dr. G. Schlichting\\
Dr. A. Ruffing\\[0.5cm]
\begin{center}  
{\large\bf 9. Aufgabenblatt zur Funktionalanalysis}\\[0.7cm]
{\large\bf --- Weihnachts\"ubungsblatt ---}\\[1.8cm]
\end{center}


{\bf Aufgabe H32 \qquad}\\[0.5cm]
Beweisen Sie folgenden Sachverhalt:\\[0.5cm]
{\em Theorem}\\[0.2cm]
Es sei $V$ ein reeller Hilbertraum und $a: V \times V \rightarrow {\Bbb{R}}$ sei eine stetige Bilinearform. Es existiere weiterhin ein $\beta>0$, so dass gilt:
\begin{center} 
$ \forall\ u\in V: \quad \beta\cdot\|u\|^2\le a(u,u)$ 
\end{center}
Weiterhin sei $\;F: V \rightarrow {\Bbb{R}} \;$ ein stetiges lineares Funktional auf $V$. Dann existiert ein eindeutiges Element $\;u\in V$,$\;$ so dass
\begin{center}
$\forall\; v \in V: \quad a(u,v) = F(v)$\\[0.8cm]
\end{center}

{\em Einige Hinweise zu Teilschritten des Beweises}\\[0.3cm]
1. $\;\;$ Zeigen Sie zun\"achst, dass f\"ur festes $u \in V$ durch die Vorschrift $v \mapsto a(u,v)$ ein stetiges lineares Funktional auf $V$ erzeugt wird. Zeigen Sie dann, dass es ein eindeutig bestimmtes $w \in V$ mit $\;\forall v \in V: \;(w,v) =  a(u,v)\;$ gibt.\\[0.4cm]
2. $\;\;$ Es sei $A: V \rightarrow V$ durch die Vorschrift $\forall u, v \in V: (Au, v) = a(u,v)$ festgelegt. Beweisen Sie, dass $A$ ein stetiger linearer Operator auf $V$ ist.\\[0.4cm]
3. $\;\;$ Verifizieren Sie in einem weiteren Schritt, dass $A$ injektiv und der Wertebereich von $A$ abgeschlossen in $V$ ist, ja sogar identisch mit $V$ ist, d.h. $A(V) = V\;$.\\[0.4cm]

{\bf Aufgabe H33 \qquad}\\[0.5cm]
Es sei $H$ ein Hilbertraum, $T \in L(H)$ mit $\vert\vert T \vert\vert \leq 1, U$ der Kern von $I-T$ und $S_{n} := \frac{1}{n}\; \sum_{k=0}^{n-1}\;T^{k}.$ Ferner bezeichne $P_{U}$ den Orthogonalprojektor auf $U.$ Dann gilt 
\begin{center}
$\lim_{n\rightarrow\infty}\; S_{n}x = P_{U}x \qquad \forall x \in H$\\[0.4cm]
\end{center}


\newpage


{\bf Aufgabe H34 \qquad}\\[0.5cm]
Geben Sie Beispiele f\"ur unbedingt, aber nicht absolut konvergente Reihen in den Banachr\"aumen $l^{p}$ f\"ur $1 < p \leq \infty$ an.\\[0.4cm]


{\large\bf Spezielle Weihnachts\"ubungsaufgaben:}\\[0.4cm]


{\bf Aufgabe H35 \qquad}\\[0.5cm]
Diese Aufgabe ist identisch mit {\bf V.6.19} Werner, Funktionalanalysis, 5. Auflage.\\[0.5cm]


{\bf Aufgabe H36 \qquad}\\[0.5cm]
Diese Aufgabe ist identisch mit {\bf V.6.30} Werner, Funktionalanalysis, 5. Auflage.\\[0.5cm]


\bigskip\bigskip\bigskip


{\large\bf Abgabe der Hausaufgaben am 10.01.2006}\\[0.6cm] 
{\large\bf vor Beginn der \"Ubung}\\[0.6cm]
{\large\bf www-Seite zur Veranstaltung:}\\[0.6cm]
{\large\bf http://www-m6.ma.tum.de/$\sim$ruffing/Funktionalanalysis}\\[1.3cm]

{\large\bf Semestralklausur voraussichtlich am 14.02.2006}\\[0.4cm]
{\large\bf Klausur ohne Hilfsmittel!}\\[0.8cm]

\bigskip\bigskip


{\Large\bf Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!}\\[0.5cm]



\end{document}